高数-集合

集合是指一组确定的对象或事物，如 $ \lbrace1,2,3 \rbrace $ ，班上的学生等都属于集合

元素

集合里的内容都叫元素，如 $1$ 是 $\lbrace 1,2,3 \rbrace$ 中的元素

如果某个元素 在 一个集合里，那么表示这个元素 属于 这个集合，用 $\in$ 来表示

$$1 \in \lbrace{1,2,3}\rbrace$$

如果某个元素 不在 一个集合里，那么表示这个元素 不属于 这个集合，用 $\notin$ 来表示

$$4 \notin \lbrace { 1,2,3 }\rbrace$$

数集

有限个元素叫 有限集 ，无限个元素叫 无限集

• $\mathbb{R} $ ：全体实数
  • $\mathbb{R} ^{+}$ ：全体正实数
  • \mathbb{R} ^{-}$ ：全体负实数
  • $\mathbb{R} ^{*}$ ：$0$ 以外的全体实数
• $\mathbb{Q} $ ：全体有理数
• $\mathbb{N} $ ：全体自然数
• $\mathbb{Z} $ ： 全体整数

表示方法

一些常见的集合表示形式

列举法

将所有元素一个个的列出来，就是列举法

$$\lbrace {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \rbrace$$

描述法

描述集合的特征

$$\lbrace{x \mid x \leqslant 10,x \in \mathbb{N} }\rbrace$$

子集

元素和集合是属于 $ \in $ 或者不属于 $ \notin $ 的关系，比如 $a \in{ A }$

而集合跟集合间的关系是包含，比如 $A \subset B $ 或 $A \supset B$

*注意：当集合作为元素时用的是 $ \in $ 而不是 $\subset$

$$\begin{array}{} \lbrace{1}\rbrace \subset \lbrace{\lbrace{1}\rbrace, \lbrace{2}\rbrace,\lbrace{3}\rbrace}\rbrace (✖️) \\\\ \lbrace{1}\rbrace \in \lbrace{\lbrace{1}\rbrace,\lbrace{2}\rbrace,\lbrace{3}\rbrace}\rbrace (✔️) \end{array} \\$$

没有任何元素的集合叫空集 $\emptyset$ ，空集是任何集合的子集 $ \emptyset \subset A$

运算

$A \cup B$ 并集运算，将两个集合合并

$$\lbrace{1,2,3}\rbrace \cup \lbrace{4,5}\rbrace = \lbrace{1,2,3,4,5}\rbrace$$

$A \cap B$ 交集运算，将两个集合的公共部分

$$\lbrace{1,2,3}\rbrace \cup \lbrace{2,3,4}\rbrace = \lbrace{2,3}\rbrace$$

$A - B$ 差集运算，$A$ 减去与 $B$ 两个集合的公共部分

$$\lbrace{1,2,3}\rbrace - \lbrace{2,3,4}\rbrace = \lbrace{1}\rbrace$$

$\mathbb{U} $ 全集，全部

$\complement_{\mathbb{U}} A$ ，补集，$\mathbb{U}$ 挖去 $A$ 的剩余部分叫补给

运算律

交换律

$$\begin{array}{} A \cup B = B \cup A \\\\ A \cap B = B \cap A \end{array} \\$$

结合律

$$\begin{array}{l} (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C) \\\\ (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \end{array}$$

分配律

$$\begin{array}{l} A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \\\\ A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \end{array}$$

对偶律

$$\begin{aligned} \complement_{\mathrm{U}}(A \cup B) &=\complement_{\mathrm{U}} A \cap \complement_{\mathrm{U}} B \\\\ \complement_{\mathrm{U}}(A \cap B) &=\complement_{\mathrm{U}} A \cup \complement_{\mathrm{U}} B \end{aligned}$$

直积

$$A \times B=\lbrace(a, b) \mid a \in A, b \in B \rbrace$$

区间

区间	取值
开区间	$(a, b)$
闭区间	$[a, b]$
半开半闭区间	$ (a, b] \quad [a, b) $
有限区间	有限长
无限区间	无限长

邻域

$a$ 表示中心 $\delta$ 表示半径

邻域

$$U(a, \delta)=\{x \mid a-\delta<x<a+\delta\}$$

去心邻域

$$\stackrel{\circ}{U}(a, \delta) = \{x \mid 0< \lvert{x-a}\rvert <\delta\}$$