高数-函数

函数关系，是指 $ \forall x \in \mathbb{D} $ ，存在对应法则 $f$ ，使得存在唯一的 $y$ 值与之对应，就是函数关系

注意：

1. 一个 $x$ 只能对应一个 $y$
2. 函数关系可以多对一，即多个 $x$ 对应一个 $y$ ；但不可以一对多，即一个 $x$ 对应多个 $y$
3. 图像法判断函数：垂直于 $x$ 轴画直线，只有一个交点，那么它就是一个函数图像

• 象限

正比例函数

$$y=kx,(k \neq 0)$$

1. 恒过原点 $(0,0)$
2. $\left | k \right | $ 越大，倾斜度越陡

一次函数

$$y=kx+b, (k \neq 0)$$

$b$ ： 代表与 $y$ 轴的交点，控制函数图像的位置：上加下减，左加右减

$k$ ：代表函数的斜率，控制函数的倾斜程度

求表达式

点斜式 ：过交点 $\left(x{0}, y{0}\right)$ ，求 $k$

$$\begin{array}{c} k=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} \\\\ y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right) \end{array}$$

两点式 ：过 $A\left(x{1}, y{1}\right)$ 和 $ B\left(x{2}, y{2}\right) $ 两点的直线

$$\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

斜截式 ：已知交点和斜率，求直线

$$y=kx+b$$

二次函数

$$y=a x^{2} + b x + c, (a \neq 0)$$

1. 二次是指最高次数为 $2$
2. $a$ : 代表函数的开口，$\left | a \right | $ 越大开口越小， $\left | a \right | $ 越小开口越大，当 $a$ 为负数时，开口向下

求表达式

一般式 ：

$$y=a x^{2} + b x + c$$

顶点式 ：顶点等于 $(-h,n)$

$$y=a(x+h)^{2}+n$$

一般式化顶点式 ： $y=a x^{2} + b x + c$ 化顶点式

回顾 ：完全平方式 ：$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$$\begin{aligned} y &=a\left(x^{2}+2 \frac{b}{2 a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)+c \\\\ &=\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a}+c \\\\ &=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{4 a c-b^{2}}{4 a} \end{aligned}$$

• 顶点坐标 ：

$$\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$$

• 对称轴 ：左同右异，即 $a$ 和 $b$ 的符号相同，则对称轴在 $y$ 轴左边，反之亦然

$$x = - \frac{b}{2 a}$$

• 与 $x$ 轴交点 ：$(0,c)$

交点式 ：

$$y = a \left(x - x_{1}\right)\left(x - x_{2}\right)$$

Tips：直接代入

将三点代入 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，交点代入到 $a$ 和 $b$ ，第三点代入到 $c$

如：交点为 $1$ 和 $3$ ，过点 $(0,-3)$ ，代入到 $a x^{2} + b x + c = 0$

$$\begin{aligned} & 1 x^{2} + 3 x^{2} + c = 0 \\\\ & \because c = y , y = -3\\\\ & \therefore c = -3 \\\\ & \therefore y = x^{2} + 3 x^{2} - 3 \end{aligned}$$

单调性

1. 单调减：随着 $x$ 增大而减小
2. 单调增：随着 $x$ 减小而增大

与 $x$ 轴的交点个数

$y=a x^{2} + b x + c$ 有几个根？

如果 $\Delta =b^{2}-4 a c > 0$ ，则有 $2$ 个交点

如果 $\Delta =b^{2}-4 a c = 0$ ，则有 $1$ 个交点

如果 $\Delta =b^{2}-4 a c < 0$ ，则有 $0$ 个交点